Question

關(guān)于平面向量

a

，

b

，

c

，有下列命題：
①（

a

•

b

）

c

-（

c

•

a

）

b

=0
②|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|；
③（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

不與

c

垂直；
④非零向量

a

和

b

滿(mǎn)足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

-

b

的夾角為60°．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：由于 （

a

•

b

）

c

表示一個(gè)與

c

平行的向量，而（

c

•

a

）

b

 表示一個(gè)與

b

平行的向量，故①不一定成立．
 當(dāng)

a

=

b

 時(shí)，②不成立．
根據(jù)[（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

]•

c

=0，得到（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

與

c

垂直，故③不正確．
④由非零向量

a

和

b

滿(mǎn)足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，可得向量

a

和

b

、

a

 - 

b

 這三個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，故④正確．

解答：解：由于 （

a

•

b

）

c

表示一個(gè)與

c

平行的向量，而（

c

•

a

）

b

 表示一個(gè)與

b

平行的向量，而

c

與

b

的大小方向都不確定，
故①不一定成立．
當(dāng)

a

=

b

 時(shí)，|

a

|-|

b

|=|

a

-

b

|=0，故②不成立．
[（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

]•

c

=（

b

•

c

）•（

c

•

a

）-（

c

•

a

）•（

b

•

c

 ）=0，故（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

與

c

垂直，
故③不正確．
④非零向量

a

和

b

滿(mǎn)足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，∴向量

a

和

b

、

a

 - 

b

 這三個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，
則

a

與

a

+

b

的夾角為30°，故④正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，正確利用兩個(gè)向量運(yùn)算的
幾何意義，是解題的難點(diǎn)．