Question

（本小題滿分13分）已知四棱錐中，，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC從而平面PBD⊥平面PAC．

（Ⅱ）方法1．過O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因?yàn)镈O⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為O-PM-D的平面角 8分

又，且 10分

從而 12分

所以，即． 13分

法二：如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則,, 8分

從而 9分

因?yàn)锽D⊥平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為． 10分

設(shè)平面PMD的法向量為,由得

取，即 11分

設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等

從而，得

從而，即．

考點(diǎn)：1．面面垂直的判定定理；2．二面角；3．空間向量的應(yīng)用．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：空間向量與立體幾何 試題屬性

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