Question

下列7個判斷：
①若f（x）=x²-2ax在[1，+∞）上增函數(shù)，則a=1；②函數(shù)f（x）=2^x-x²只有兩個零點(diǎn)；
③函數(shù)y=ln（x²+1）的值域是R；④函數(shù)y=2^|x|的最小值是1；⑤在同一坐標(biāo)系中函數(shù)y=2^x與y=2^-x的圖象關(guān)于y軸對稱；⑥設(shè)a＞1，log0.2a、0.2a、a0.2的大小關(guān)系為log0.2a＜0.2a＜a0.2；⑦設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，則f（-2），f（π），f（-3）的大小關(guān)為U=R；
其中正確的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由f（x）是二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
②在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=2^x，y=x²的圖象，由圖象交點(diǎn)的個數(shù)判定f（x）的零點(diǎn)個數(shù)；
③由x²≥0，求出函數(shù)y=ln（x²+1）的值域即可；
④由|x|≥0，求出函數(shù)y=2^|x|的最小值即可；
⑤由f（x）=2^|x|是R上的偶函數(shù)，判定函數(shù)y=2^x與y=2^-x的對稱問題即可；
⑥當(dāng)a＞1時(shí)，由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判定log_0.2a、0.2^a與a^0.2的大小即可；
⑦由f（x）是偶函數(shù)且在[0，+∞）上是增函數(shù)，可以判定f（-2）、f（-3）與f（π）的大小．

解答： 解：①當(dāng)f（x）=x²-2ax在[1，+∞）上是增函數(shù)時(shí)，
二次函數(shù)圖象的對稱軸x=a≤1，
∴命題①錯誤；
②考查函數(shù)y=2^x，y=x²的圖象，如圖，
由圖象知兩函數(shù)有3個交點(diǎn)，
∴f（x）=2^x-x²有3個零點(diǎn)，
∴命題②錯誤；
③∵x²≥0，
∴x²+1≥1，
∴l(xiāng)n（x²+1）≥0；
∴函數(shù)y=ln（x²+1）的值域是[0，+∞）；
∴③錯誤；
④∵|x|≥0，
∴2^|x|≥2⁰=1，
∴函數(shù)y=2^|x|的最小值是1；
∴命題④正確；
⑤∵f（x）=2^|x|，是R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，
∴在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2^x與y=2^-x的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴命題⑤正確；
⑥∵a＞1，
∴l(xiāng)og_0.2a＜log_0.21=0，
0＜0.2^a＜0.2¹=0.2，
1=a⁰＜a^0.2，
∴log0.2a＜0.2a＜a0.2；
∴命題⑥正確；
⑦∵偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
∴f（-2）=f（2），
f（-3）=f（3），
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
∴f（2）＜f（3）＜f（π），
∴f（-2）＜f（-3）＜f（π），
∴命題⑦錯誤；
所以，以上命題正確的是④⑤⑥；
故答案為：④⑤⑥．

點(diǎn)評：本題通過命題真假的判定考查了對稱軸，單調(diào)性與奇偶性，以及利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小問題，是綜合題目．