Question

設s＞1，t＞1，m∈R，x=log_st+log_ts，y=log_s⁴t+log_t⁴s+m（log_s²t+log_t²s）．
（1）將y表示成x的函數(shù)f（x），并求定義域；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,對數(shù)的運算性質(zhì),根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用基本不等式求出f（x）的定義域，先求x²的表達式，再求y的表達式即可；
（2）利用分離常數(shù)法，求出m的表達式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵s＞1，t＞1，∴l(xiāng)og_st＞0，log_ts＞0，
∴x=log_st+log_ts≥2；
x²=log²_st+log²_ts+2，
∴l(xiāng)og²_st+log²_ts=x²-2，
∴l(xiāng)og_s⁴t+log_t⁴s=（x²-2）²-2；
∴y=（x²-2）²-2+m（x²-2）=（x²-2）²+m（x²-2）-2，定義域是[2，+∞）；
（2）根據(jù)題意，方程（x²-2）²+m（x²-2）-2=0在[2，+∞）上有唯一實數(shù)解，
即m=-（x²-2）+

2

x2-2

；
設m=g（x）=-（x²-2）+

1

x2-2

（x≥2），
令u=x²-2，其中x∈[2，+∞），
則m是u的減函數(shù)；
即m=g（x）是定義域∈[2，+∞）上的減函數(shù)，
∴m≤g（2）=-1，即實數(shù)m的取值范圍是m∈（-∞，-1）．

點評：本題考查了求函數(shù)定義域的應用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，基本不等式的應用問題，是綜合性題目．