Question

某城市有東西南北四個(gè)進(jìn)入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時(shí)間段，時(shí)常發(fā)生交通擁堵現(xiàn)象，交警部門統(tǒng)計(jì)11月份30天內(nèi)的擁堵天數(shù)．東西南北四個(gè)主干道入口的擁堵天數(shù)分別是18天，15天，9天，15天．假設(shè)每個(gè)入口發(fā)生擁堵現(xiàn)象互相獨(dú)立，視頻率為概率．
（I）求該城市一天中早高峰時(shí)間段恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵的概率；
（Ⅱ）設(shè)翻乏示一天中早高峰時(shí)間段發(fā)生擁堵的主干道入口個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)東西南北四個(gè)主干道入口發(fā)生擁堵分別為事件A，B，C，D，設(shè)一天恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵為事件M，則M=

.

A

BCD+A

.

B

CD+AB

.

C

D+ABC

.

D

．由此能求出該城市一天中早高峰時(shí)間段恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)東西南北四個(gè)主干道入口發(fā)生擁堵分別為事件A，B，C，D．
則P（A）=

18

30

=

3

5

，P（B）=

15

30

=

1

2

，P（C）=

9

30

=

3

10

，P（D）=

15

30

=

1

2

．
設(shè)一天恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵為事件M，則
M=

.

A

BCD+A

.

B

CD+AB

.

C

D+ABC

.

D

．
則P（M）=

2

5

×

1

2

×

3

10

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

3

10

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

7

10

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

3

10

×

1

2

=

9

40

．…（5分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=

14

200

=

7

100

，
P（ξ=1）=

55

200

=

11

40

，
P（ξ=2）=

77

200

，
P（ξ=3）=

45

200

=

9

40

，
P（ξ=4）=

9

200

．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
p	7 100	11 40	77 200	9 40	9 200

E（ξ）=0×

14

200

+1×

55

200

+2×

77

200

+3×

45

200

+4×

9

200

=

19

10

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合的合理運(yùn)用，是中檔題．