Question

P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為

1

5

．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足

OC

=λ

OA

+

OB

，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出P滿足的關(guān)系式，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡計(jì)算可得a²=5b²，c²=a²+b²=6b²，再由離心率公式計(jì)算即可得到；
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量的共線的坐標(biāo)表示，化簡整理計(jì)算，即可得到λ²+4λ=0，解方程即可得到所求值．

解答： 解：（1）點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1上，有

x02

a2

-

y02

b2

=1，
又M（-a，0），N（a，0）．
由直線PM，PN的斜率之積為

1

5

．
有

y0

x0-a

•

y0

x0+a

=

1

5

，即

y02

x02-a2

=

1

5

，
又

y02

b2

=

x02-a2

a2

，
可得a²=5b²，c²=a²+b²=6b²，
則e=

c

a

=

30

5

；
（2）由（1）得雙曲線的方程為x²-5y²=5b²，
聯(lián)立

x2-5y2=5b2 y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2= 5c 2 x1x2= 35b2 4

，
設(shè)

OC

=（x₃，y₃），由

OC

=λ

OA

+

OB

，即

x3=λx1+x2 y3=λy1+y2

，
又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x₃²-5y₃²=5b²，有（λx₁+x₂）²-5（λy₁+y₂）²=5b²，
化簡得：λ²（x₁²-5y₁²）+（x₂²-5y₂²）+2λ（x₁x₂-5y₁y₂）=5b²，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線上，則x₁²-5y₁²=5b²，x₂²-5y₂²=5b²，
又有x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5（x₁-c）（x₂-c）=-4x₁x₂+5c（x₁+x₂）-5c²
=-35b²+

25c2

2

-5c²=10b²，
即有5b²λ²+5b²+20λb²=5b²，
得：λ²+4λ=0，
解出λ=0，或λ=4．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題和易錯(cuò)題．