Question

若函數(shù)f（x）滿足：存在非零常數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，有f（x+T）=Tf（x）成立，則稱f（x）為“T周期函數(shù)”，那么有函數(shù)：
①f（x）=e^x②f（x）=e^-x③f（x）=lnx④f（x）=x，
其中是“T周期函數(shù)”的有

 

（填上所有符合條件的函數(shù)前的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：壓軸題,新定義

分析：結(jié)合新定義判斷①利用導(dǎo)數(shù)判斷不可能成立，②利用導(dǎo)數(shù)判斷有零點(diǎn)，所以存在，③ln（x+T）=Tlnx，不可能成立，④x+T=Tx，不可能成立，

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足：存在非零常數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，
有f（x+T）=Tf（x）成立，則稱f（x）為“T周期函數(shù)”，
∴可判斷如下：
①f（x）=e^x，f（x+T）=e^x+T=e^T•e^x，
∴e^T=T，
令m（T）=e^T-T，m′（T）=e^T-1，
m′（T）=e^T-1=0，x=0，
m′（T）=e^T-1＞0．x＞0，
m′（T）=e^T-1＜0，x＜0，
m（T）_min=e⁰-1=0，
∴不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
①不是“T周期函數(shù)”
②f（x）=e^-x，
根據(jù)題意可得T=e^-T，
∴Te^T=1，
令m（T）=Te^T-1，
∴m′（T）=（T+1）e^T，
m′（T）=（T+1）e^T=0，T=-1，
m′（T）=（T+1）e^T＞0，T＞-1，
m′（T）=（T+1）e^T＜0，T＜-1，
∴m（T）_min=-e^-1-1＜0，
m（2）=2e²-1＞0，
∴存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
②是“T周期函數(shù)”，
③f（x）=lnx，
∴f（T+x）=ln（x+T）=Tlnx，
不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
③不是“T周期函數(shù)”，
④f（x）=x，
∴f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∴x+T=Tx，不可能成立，不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
④不是“T周期函數(shù)”，
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題考察了新概念的運(yùn)用，融合了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，屬于難題．