Question

已知f（x）=x|x-a|+2x-3．f（x）在R上恒為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先取絕對(duì)值得到分段函數(shù)，要使f（x）在R上增，需要滿足二個(gè)條件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式，解之即可．

解答： 解：解：f（x）=

x2+(2-a)x-3，x≥a -x2+(2+a)x-3，x＜a

，
要使f（x）在R上增，需要滿足二個(gè)條件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增
（1）f（x）在[a，+∞）上增，則對(duì)稱(chēng)軸x=

a-2

2

在區(qū)間[a，+∞）的左邊，即

a-2

2

≤a，解得a≥-2；
（2）f（x）在（-∞，a）上增，則對(duì)稱(chēng)軸x=

a+2

2

在區(qū)間（-∞，a）的右邊，即

a+2

2

≥a，解得a≤2；
從而a的取值范圍是[-2，2]，
故答案為：[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)和分段函數(shù)，同時(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．