Question

設函數(shù)f（x）=sin（x+

π

6

）+2sin²

x

2

．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=1，a=1，c=

3

，求b值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先利用三角恒等變換把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，進一步求出最小正周期和單調(diào)區(qū)間
（2）利用正弦定理解三角形，要進行分類討論．

解答： 解：（1）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1
∴T=2π．
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)
得-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ(k∈Z)
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ](k∈Z)．
（2）由f(A)=1，得sin(A-

π

6

)=0，故A=

π

6

．
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得sinC=

3

2

，C=

π

3

或

2π

3

．
①當C=

π

3

，B=

π

2

，從而b=

b2+c2

=2．
②當C=

2π

3

時，B=

π

6

，又A=

π

6

，從而a=b=1．
故b的值為1或2．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的應用，解三角形是正弦定理的應用．