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18.兩個(gè)單位向量OA,OB的夾角為60°,點(diǎn)C在以O(shè)圓心的圓弧AB上移動(dòng),OC=xOA+yOB,則x+y的最大值為( �。�
A.1B.263C.3D.233

分析 本題是向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用,結(jié)合圖形,利用三角函數(shù)的性質(zhì),即可求出結(jié)果.

解答 解:∵兩個(gè)單位向量OA,OB的夾角為60°,點(diǎn)C在以O(shè)圓心的
圓弧AB上移動(dòng),OC=xOA+yOB,
建立如圖所示的坐標(biāo)系,則B(1,0),A(cos60°,sin60°),
即A(12,32).
設(shè)∠BOC=α,則OC=xOA+yOB=(cosα,sinα)=(12x+y,32x),
\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{2}+y}\\{sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}x}\end{array}\right.∴x=\frac{2}{\sqrt{3}}sinα,y=cosα-\frac{1}{\sqrt{3}}sinα,
∴x+y=cosα+\frac{1}{\sqrt{3}}sinα=\frac{2\sqrt{3}}{3}sin(α+60°).
∵0°≤α≤60°,∴60°≤α+60°≤120°,∴\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin(α+60°)≤1,
故當(dāng)α+60°=90°時(shí),x+y取得最大值為\frac{2\sqrt{3}}{3},
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查三角函數(shù)的性質(zhì),確定x,y的關(guān)系式是關(guān)鍵,屬于中檔題.

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