【題目】設 ,向量 =(cosα,sinα), .
(1)證明:向量 與 垂直;
(2)當| |=| |時,求角α.
【答案】
(1)證明:由向量 =(cosα,sinα), ,
得| |=1, =1,則 ,
所以向量 與 垂直
(2)解:將| |=| |兩邊平方,化簡得3(| |2﹣| |2)+8 ,
由| |= =1,得 ,即 .
所以 ,注意到 ,得
【解析】(1)計算| |, ,通過計算 ,證明向量 與 垂直;(2)將| |=| |兩邊平方,平方可得3(| |2﹣| |2)+8 ,從而得到以 ,然后求角α.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)量積表示兩個向量的夾角的相關知識,掌握設、都是非零向量,,,是與的夾角,則,以及對數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系的理解,了解若平面的法向量為,平面的法向量為,要證,只需證,即證;即:兩平面垂直兩平面的法向量垂直.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩個容器,甲容器容量為,裝滿純酒精,乙容器容量為,其中裝有體積為的水(:單位: ).現(xiàn)將甲容器中的液體倒人乙容器中,直至甲容器中液體倒完或乙容器盛滿,攪拌使乙容器中兩種液體充分混合,再將乙容器中的液體倒人甲容器中直至倒?jié)M,攪拌使甲容器中液體充分混合,如此稱為一次操作,假設操作過程中溶液體積變化忽略不計.設經過次操作之后,乙容器中含有純酒精(單位: ),下列關于數(shù)列的說法正確的是( )
A. 當時,數(shù)列有最大值
B. 設,則數(shù)列為遞減數(shù)列
C. 對任意的,始終有
D. 對任意的,都有
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()與軸交于, 兩點, 為橢圓的左焦點,且是邊長為2的等邊三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓交于, 兩點,點關于軸的對稱點為(與不重合),則直線與軸交于點,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,且.設函數(shù)在區(qū)間內單調遞減; 曲線與軸交于不同的兩點,如果“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】濰坊文化藝術中心的觀光塔是濰坊市的標志性建筑,某班同學準備測量觀光塔的高度(單位:米),如圖所示,垂直放置的標桿的高度米,已知, .
(1)該班同學測得一組數(shù)據: ,請據此算出的值;
(2)該班同學分析若干測得的數(shù)據后,發(fā)現(xiàn)適當調整標桿到觀光塔的距離(單位:米),使與的差較大,可以提高測量精確度,若觀光塔高度為136米,問為多大時, 的值最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知左、右焦點分別為的橢圓與直線相交于兩點,使得四邊形為面積等于的矩形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓上一動點(不在軸上)作圓的兩條切線,切點分別為,直線與橢圓交于兩點, 為坐標原點,求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為坐標原點,設動點.
(1)當時,若過點的直線與圓:相切,求直線的方程;
(2)當時,求以為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程;
(3)當時,設,過點作的垂線,與以為直徑的圓交于點,垂足為,試問:線段的長是否為定值?若為定值,求出這個定值;若不為定值,請說明理由.
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