Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P(1，

3

2

)，離心率e=

1

2

，A為橢圓C₁上一點(diǎn)，B為拋物線y²=

3

2

x上一點(diǎn)，且A為線段OB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）據(jù)題意得：

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2

又a²=b²+c²，解出a，b即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀，2y₀），分別代入橢圓和拋物線方程，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AB方程．

解答： 解：（1）據(jù)題意得：

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2

又a²=b²+c²，
解得

a2=4 b2=3

，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀，2y₀），
分別代入橢圓和拋物線方程得

x02 4 + y02 3 =1 (2y0)2= 3 2 (2x0)

，
消去y₀并整理得：3x02+

3

x0-12=0，
所以x0=

3

或x0=-

4 3

3

．
當(dāng)x0=

3

時(shí)，y0=±

3

2

；
當(dāng)x0=-

4 3

3

時(shí)，y₀無(wú)解．
所以直線AB的方程為y=±

1

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查拋物線方程的運(yùn)用，考查直線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．