Question

【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù)， ， ， ， .

（1）設(shè)，求的極值；

（2）設(shè)，求證：函數(shù)沒有零點；

（3）若，設(shè)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1） ，求其導(dǎo)數(shù)并求導(dǎo)數(shù)為0的 值，判斷兩側(cè)的單調(diào)性求極值；（2） ， ，因為 ，所以是減函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最大值，判斷其最大值小于0；（3）函數(shù) ，要證明 ，設(shè)函數(shù) ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最小值，證明最小值大于0.

試題解析：（1）∵， ， ，

∴， ，

∴.

∴，由得.

∵是自然對數(shù)的底數(shù)，∴是增函數(shù).

∴當時， ，即是減函數(shù)；

當時， ，即是增函數(shù).

∴函數(shù)沒有極大值，只有極小值，且當時， 取得極小值.

∴的極小值為.

（2）∵， ，

∴，∴.

∵，∴是減函數(shù).

由解得.

當時， ，此時函數(shù)是增函數(shù)，

當時， ，此時函數(shù)是減函數(shù)，

∴當時，函數(shù)取得最大值，最大值為.

∵，∴，∴，

∴當時，函數(shù)沒有零點.

（3）∵， ， ，

∴.

∵，∴.

設(shè)，則.

設(shè)，則.

∵，∴.

又∵當時， ，∴函數(shù)在上是增函數(shù).

∵，∴，即.

又∵， ，

∴當時， ；當時， ，

∴函數(shù)在上是增函數(shù).

∴當時， ，即.

∴當時， .