Question

已知函數f（x）滿足下列關系式：①f（

π

2

）=1，②對于任意的x，y∈R，恒有：2f（x）f（y）=f（

π

2

-x+y）-f（

π

2

-x-y）．
（1）求證：f（0）=0；
（2）求證：f（x）為奇函數；
（3）f（x）是以2π為周期的周期函數．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：靈活利用賦值法，再根據函數的奇偶性和周期性的定義即可證明

解答： 解：（1）令x=y=0，
則2f（0）f（0）=f（

π

2

）-f（

π

2

）=0，
∴f（0）=0，
（2）令x=

π

2

，
則2f（y）f（

π

2

）=f（

π

2

-

π

2

+y）-f（

π

2

-

π

2

-y），
∴2f（y）=f（y）=-f（-y），
即f（y）=-f（-y），
令y=-x，得
f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數；
（3）令y=

π

2

，
則2f（x）f（

π

2

）=f（

π

2

-x+

π

2

）-f（

π

2

-x-

π

2

）．
∴f（x）=f（π-x）=-f（x-π），
再令x=x-π，
∴f（x-π）=-f（x-2π），
∴f（x）=f（x-2π）
∴f（x）是以2π為周期的周期函數．

點評：本題考查了抽象函數奇偶性周期性的判定，主要利用賦值法來解題，屬于中檔題