Question

已知函數(shù)f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=-

1

2

x2+f′（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若直線l與曲線y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)．求證：x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意，求導(dǎo)f′（x）=lnx+2，（x＞0）；從而可得F（x）=-

1

2

x²+lnx+2，（x＞0）；再求導(dǎo)F′（x）=-x+

1

x

=

-x2+1

x

；從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意，x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2可化為1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

＜

x2

x1

，再令

x2

x1

=t＞1，從而轉(zhuǎn)化為證明1＜

t-1

lnt

＜t，即lnt＜t-1＜tlnt，（t＞1）；構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f′（x）=lnx+2，（x＞0）；
F（x）=-

1

2

x²+lnx+2，（x＞0）；
∴F′（x）=-x+

1

x

=

-x2+1

x

；
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；
綜上所述，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）證明：由題意，要證x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2，
即證x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x₂，
即證1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

＜

x2

x1

，
令

x2

x1

=t＞1；
則只需證明1＜

t-1

lnt

＜t，由lnt＞0；
即證明：lnt＜t-1＜tlnt，（t＞1）；
①設(shè)g（t）=t-1-lnt，（t≥1），
則g′（t）=1-

1

t

≥0；
故g（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，而當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，
即lnt＜t-1；
②設(shè)h（t）=tlnt-（t-1），則h′（t）=lnt≥0；
故h（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，而當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=t-1-lnt＞h（1）=0，
即tlnt＞t-1；
綜上所述，x₁＜

x1-x2

f′(x1)-f′(x2)

＜x2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法應(yīng)用，屬于中檔題．