Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為（2

2

，0），且過點(diǎn)（2

3

，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，且|AB|=3

2

．若點(diǎn)P（x₀，2）滿足|

PA

|=|

PB

|，求x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知得半長(zhǎng)軸長(zhǎng)和半焦距，進(jìn)一步得到b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得m的范圍，再利用|AB|=3

2

求得m的值．結(jié)合橢圓可得點(diǎn)P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點(diǎn)．
然后由求得的m的值分類求得AB的中垂線方程，進(jìn)一步得到x₀的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a=2

3

，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

，得4x²+6mx+3m²-12=0  ①
∵直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，
∴△36m²-16（3m²-12）＞0，得m²＜16．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，
則x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-12

4

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

- 3 4 m2+12

．
又由|AB|=3

2

，得-

3

4

m2+12=9，解之m=±2．
據(jù)題意知，點(diǎn)P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點(diǎn)．
設(shè)AB的中點(diǎn)為E（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，
當(dāng)m=2時(shí)，E（-

3

2

，

1

2

）．
∴此時(shí)，線段AB的中垂線方程為y-

1

2

=-(x+

3

2

)，即y=-x-1．
令y=2，得x₀=-3．
當(dāng)m=-2時(shí)，E（

3

2

，-

1

2

）．
∴此時(shí)，線段AB的中垂線方程為y+

1

2

=-(x-

3

2

)，即y=-x+1．
令y=2，得x₀=-1．
綜上所述，x₀的值為-3或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求解，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的計(jì)算能力，是壓軸題．