Question

定義在R上的函數f(x)對任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k為常數).

(1)判斷k為何值時,f(x)為奇函數,并證明;

(2)設k=-1,f(x)是R上的增函數,且f(4)=5,若不等式f(mx²-2mx+3)>3對任意x∈R恒成立,求實數m的取值范圍.

Answer 1

解:(1)若f(x)在R上為奇函數,則f(0)=0,

令a=b=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0.

證明:由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x,

則f(x-x)=f(x)+f(-x),

又f(0)=0,則有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立,所以f(x)是奇函數.

(2)因為f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3.

所以f(mx²-2mx+3)>3=f(2)對任意x∈R恒成立.

又f(x)是R上的增函數,所以mx²-2mx+3>2對任意x∈R恒成立,

即mx²-2mx+1>0對任意x∈R恒成立,

當m=0時,顯然成立;

當m≠0時,由得0<m<1.

所以實數m的取值范圍是[0,1).