19.已知正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直,且BC=2BF=2EF=4,G為BC中點(diǎn).
(1)求證:AB∥平面DFG;
(2)求證:FG⊥平面BDE;
(3)求該多面體體積.

分析 (1)推導(dǎo)出四邊形BGDA是平行四邊形,從而AB∥DG,由此能證明AB∥平面DFG.
(2)推導(dǎo)出FG⊥BE,F(xiàn)G⊥DE,由此能證明FG⊥平面BDE.
(3)該多面體體積V=VD-BCEF+VB-ADF,由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(1)∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直,
且BC=2BF=2EF=4,G為BC中點(diǎn),
∴BG$\underset{∥}{=}$AD,∴四邊形BGDA是平行四邊形,∴AB∥DG,
∵AB?平面DFG,DG?平面DFG,
∴AB∥平面DFG.
(2)∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直,
且BC=2BF=2EF=4,G為BC中點(diǎn),
∴BF=FG=BG=EF=2,∴∠BFE=120°,∠BFE=60°,
∴∠FBE=∠FEB=30°,∴∠BEC=90°,∴BE⊥CE,∴FG⊥BE,
∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直,
∴FG⊥DE,
∵BE∩DE=E,∴FG⊥平面BDE.
解:(3)∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直,
且BC=2BF=2EF=4,G為BC中點(diǎn),
∴S梯形BCEF=$\frac{1}{2}(2+4)×\sqrt{4-1}$=3$\sqrt{3}$,DE=2,
S△ADF=$\frac{1}{2}×2×2$=2,B平面ADF的距離d=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$,
∴該多面體體積:
V=VD-BCEF+VB-ADF=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形BCEF}×DE+\frac{1}{3}×{S}_{△ADF}×d$
=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×2+\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明,考查多面體的體積的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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