Question

19．已知正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G為BC中點(diǎn)．
（1）求證：AB∥平面DFG；
（2）求證：FG⊥平面BDE；
（3）求該多面體體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形BGDA是平行四邊形，從而AB∥DG，由此能證明AB∥平面DFG．
（2）推導(dǎo)出FG⊥BE，F(xiàn)G⊥DE，由此能證明FG⊥平面BDE．
（3）該多面體體積V=V_D-BCEF+V_B-ADF，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
且BC=2BF=2EF=4，G為BC中點(diǎn)，
∴BG$\underset{∥}{=}$AD，∴四邊形BGDA是平行四邊形，∴AB∥DG，
∵AB?平面DFG，DG?平面DFG，
∴AB∥平面DFG．
（2）∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
且BC=2BF=2EF=4，G為BC中點(diǎn)，
∴BF=FG=BG=EF=2，∴∠BFE=120°，∠BFE=60°，
∴∠FBE=∠FEB=30°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∴FG⊥BE，
∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
∴FG⊥DE，
∵BE∩DE=E，∴FG⊥平面BDE．
解：（3）∵正方形ADEF所在平面與等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，
且BC=2BF=2EF=4，G為BC中點(diǎn)，
∴S_梯形BCEF=$\frac{1}{2}（2+4）×\sqrt{4-1}$=3$\sqrt{3}$，DE=2，
S_△ADF=$\frac{1}{2}×2×2$=2，B平面ADF的距離d=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴該多面體體積：
V=V_D-BCEF+V_B-ADF=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形BCEF}×DE+\frac{1}{3}×{S}_{△ADF}×d$
=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×2+\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．