Question

【題目】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若為等差數(shù)列，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正整數(shù)， 使成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)等比數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若數(shù)列滿足，，且對(duì)任意的，都有，求正整數(shù)k的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3，9，27；（3）3

【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，再利用等差中項(xiàng)得，然后求得公差d=2，求出通項(xiàng)；

（2）假設(shè)存在，使得，，成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列中項(xiàng)可得

法一：利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題求解；法二：直接解方程求解；得出n=1；

（3）根據(jù)題意由 可知，，然后用累加法和放縮法得

，再對(duì)n進(jìn)行討論，求得k的值.

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差d，則，．

又是等差數(shù)列，所以，

即，解得d＝2．

此時(shí)，，符合數(shù)列是等差數(shù)列，

所以．

（2）假設(shè)存在，使得，，成等比數(shù)列．

則，

由（1）可知，，代入上式，得

，

整理得．（*）

法一： 令，x≥1．

則，

所以在上單調(diào)增，

所以在上至少有一個(gè)根．

又，

故是方程（*）的唯一解．

所以存在，使得，，成等比數(shù)列，

且該等比數(shù)列為3，9，27．

法二：，即，

所以方程（*）可整理為．

因?yàn)?/span>，所以無(wú)解，故．

所以存在，使得，，成等比數(shù)列，

且該等比數(shù)列為3，9，27．

（3）由 可知，．

又，，故，所以．

依題意，對(duì)任意恒成立，

所以，即，故．

若，據(jù)，可得

當(dāng)，時(shí)，

．

由及可得．

所以，當(dāng)，時(shí)，，即．

故當(dāng)，時(shí)，，故不合題意．

若，據(jù)，可得，即．

所以，當(dāng)，時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，得，所以．

當(dāng)，時(shí)，

，

所以，

故．

故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都成立．

所以正整數(shù)k的最小值為3．