Question

對于函數(shù)f（x），g（x），φ（x）如查存在實數(shù)a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么稱φ（x）為f（x），g（x）的線性組合函數(shù)，如對于f（x）=x+1，g（x）=x²+2x，φ（x）=2-x²存在a=2，b=-1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此時φ（x）就是f（x），g（x）的線性組合函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)f（x）=x²+1，g（x）=x²-x，φ（x）=x²-2x+3，試判斷φ（x）是否為f（x），g（x）的線性組合函數(shù)？關(guān)說明理由；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=log₂x，g（x）=log 

1

2

x，a=2，b=1，線性組合函數(shù)為φ（x），若不等式3φ²（x）-2φ（x）+m＜0在x∈[

2

，4]上有解，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)f（x）=x，g（x）=

1

x

（1≤x≤9），取a=1，b＞0，線性組合函數(shù)φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范圍，（可利用函數(shù)y=x+

k

x

（常數(shù)k＞0）在（0，

k

]上是減函數(shù)，在[

k

，+∞）上是增函數(shù)）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)線性組合函數(shù)的定義，解方程即可．
（Ⅱ）利用換元法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解．
（Ⅲ）利用函數(shù)y=x+

k

x

（常數(shù)k＞0）在（0，

k

]上是減函數(shù)，在[

k

，+∞）上是增函數(shù)的性質(zhì)，將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，求出函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)a•（x²+1）+b•（x²-x）=x²-2x+3，
即（a+b）x²-bx+a=x²-2x+3，
則

a+b=1 -b=-2 a=3

，此時方程組無解，
故不存在a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），
則φ（x）不是f（x），g（x）的線性組合函數(shù)．
（Ⅱ）∵a=2，b=1，
∴φ（x）=2f（x）+g（x）=2log₂x+log 

1

2

x=2log₂x-log₂x=log₂x，
若不等式3φ²（x）-2φ（x）+m＜0在x∈[

2

，4]上有解，
即m＜-3（log₂x）²+2log₂x在x∈[

2

，4]上有解，
設(shè)t=log₂x，則∵x∈[

2

，4]，∴t∈[

1

2

，2]，
則不等式等價為m＜-3t²+2t，
∵y=-3t²+2t=-3（t-

1

3

）²+

1

3

，
∴當(dāng)t=

1

2

時，函數(shù)y取得最大值

1

4

，
則m＜

1

4

，
實數(shù)m的取值范圍是m＜

1

4

．
（Ⅲ）由題意φ（x）=x+

b

x

，（1≤x≤9），
①若

b

∈（1，9），則φ（x）在[1，

b

）上遞減，在（

b

，9]上遞增，
故φ（x）_min=φ（

b

）=2

b

，
由

1＜ b ＜9 2 b ≥b

，解得1＜b≤4．
②若

b

≤1，則φ（x）在[1，9]上遞增，
故φ（x）_min=φ（1）=1+b，
由

b ≤1 1+b≥b

，解得1＜b≤1．
③若

b

≥9，則φ（x）在[1，9]上遞減，
故φ（x）_min=φ（9）=9+

b

9

，
由

b ≥9 9+ b 9 ≥b

，此時不等式組無解．
綜上b的取值范圍是（0，4]．

點評：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義問題，以及不等式恒成立問題，利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．