18.已知直線l的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρ2cos2θ=1.
(1)以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立直角坐標(biāo)系,求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若求直線,被曲線C截得的弦長為$2\sqrt{10}$,求m的值.

分析 (1)利用倍角公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式即可得出.
(2)直線l的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù)),代入雙曲線方程:3t2-4mt+4-4m2=0,利用$2\sqrt{10}$=|t1-t2|=$\sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出.

解答 解:(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρ2cos2θ=1,即:ρ2(cos2θ-sin2θ)=1.
∴x2-y2=1.
(2)直線l的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$(t為參數(shù)),代入雙曲線方程:3t2-4mt+4-4m2=0,
△=16m2-12(4-4m2)>0,解得:m2$>\frac{3}{4}$.
t1+t2=$\frac{4m}{3}$,t1t2=$\frac{4-4{m}^{2}}{3}$.
∴$2\sqrt{10}$=|t1-t2|=$\sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{4(4-4{m}^{2})}{9}}$,
解得m=$±\frac{\sqrt{47}}{2}$.

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與雙曲線相交弦長問題,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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