Question

18．已知直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²cos2θ=1．
（1）以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若求直線，被曲線C截得的弦長為$2\sqrt{10}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式即可得出．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入雙曲線方程：3t²-4mt+4-4m²=0，利用$2\sqrt{10}$=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²cos2θ=1，即：ρ²（cos²θ-sin²θ）=1．
∴x²-y²=1．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入雙曲線方程：3t²-4mt+4-4m²=0，
△=16m²-12（4-4m²）＞0，解得：m²$＞\frac{3}{4}$．
t₁+t₂=$\frac{4m}{3}$，t₁t₂=$\frac{4-4{m}^{2}}{3}$．
∴$2\sqrt{10}$=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{4（4-4{m}^{2}）}{9}}$，
解得m=$±\frac{\sqrt{47}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與雙曲線相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．