Question

若實數(shù)a、b、c、d滿足

a2-lna

b

=

c-4

d

=1，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：由

a2-lna

b

=

c-4

d

=1可知點P（a，b）是曲線f（x）=x²-lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=x-4上的點，由導數(shù)的幾何意義可知，過曲線y=x²-lnx上的點P（a，b）且與線y=x-4平行時，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答： 解：∵

a2-lna

b

=

c-4

d

=1，
∴點P（a，b）是曲線f（x）=x²-lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=x-4上的點，
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，當且僅當過曲線y=x²-lnx上的點P（a，b）且與y=x-4平行時．
∵f′（x）=

2x2-1

x

（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞

2

2

；由f′（x）＜0得0＜x＜

2

2

．
∴當x=

2

2

時，f（x）取得極小值．
由

2x2-1

x

=1，可得x=1（負值舍去）
∴點P（1，1）到直線y=x-4的距離為d=

|1-1-4|

2

=2

2

，則d²=8．
∵|PQ|²≥d²=8，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為8．
故答案為：8

點評：本題考查函數(shù)最值的應用，分析得到點P（a，b）是曲線y=x²-lnx上的點，Q（c，d）是直線y=x-4上的點，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是關鍵，也是難點，考查理解題意與等價轉化思想的綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義及點到直線間的距離，屬于難題．