Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，且2T_n=4S_n-（n²+n），n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

n+1

an+1

，證明：b₁+b₂+…+b_n＜3．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）S_n=T_n-T_n-1，從而S_n-1=2S_n-2+（n-1）．故S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，即a_n=2a_n-1+1．顯然有a_n+1=2（a_n-1+1）；
（Ⅱ）根據(jù)題意可得Sn=1+

3

4

+

4

8

+

5

16

+…+

n+1

2n

，

1

2

Sn=

2

4

+

3

8

+

4

16

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，兩者相減，再放縮即可．

解答： 證明：（Ⅰ）∵2T_n=4S_n-（n²+n），
∴2T1=4S1-(12+1)
即a₁=1．
S_n=T_n-T_n-1
=2Sn-

n2+n

2

-2Sn-1+

(n-1)2+(n-1)

2

，
整理，得S_n=2S_n+n，
從而S_n-1=2S_n-2+（n-1）．
故S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，
即a_n=2a_n-1+1．
顯然有a_n+1=2（a_n-1+1）．
所以數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

n+1

2n

，
則Sn=1+

3

4

+

4

8

+

5

16

+…+

n+1

2n

    …①

1

2

Sn=

2

4

+

3

8

+

4

16

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

  …②
則①-②：

1

2

Sn=1+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+1

＜1+

1

2

，
故S_n＜3．
所以b₁+b₂+…+b_n＜3．

點評：本題是數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合的綜合題，主要考查錯位相減法和放縮法，難度較大，考查了分析問題與解決問題的能力．