如圖15,在四棱錐A BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.
(1)證明:DE⊥平面ACD;
(2)求二面角B AD E的大。
圖15
解:(1)證明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,
由AC=,AB=2,
得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE,從而AC⊥平面BCDE,
所以AC⊥DE.又DE⊥DC,從而DE⊥平面ACD.
(2)方法一:
過B作BF⊥AD,與AD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥DE,與AE交于點(diǎn)G,連接BG.由(1)知DE⊥AD,則FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B AD E的平面角.
在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,
得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,從而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.
在Rt△ACD中,由DC=2,AC=,得AD=
.
在Rt△AED中,由ED=1,AD=,得AE=
.
在Rt△ABD中,由BD=,AB=2,AD=
,得BF=
,AF=
AD.從而GF=
ED=
.
在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分別可得cos∠BAE=,BG=
.
在△BFG中,cos∠BFG==
.
所以,∠BFG=,即二面角B AD E的大小是
.
方法二:
以D為原點(diǎn),分別以射線DE,DC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系D xyz,如圖所示.
由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:
D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),
A(0,2,),B(1,1,0).
設(shè)平面ADE的法向量為m=(x1,y1,z1),
平面ABD的法向量為n=(x2,y2,z2).
可算得AD=(0,-2,-),AE=(1,-2,-
),
=(1,1,0).
由即
可取m=(0,1,-).
由即
可取n=(1,-1,).
于是|cos〈m,n〉|==
=
.
由題意可知,所求二面角是銳角,
故二面角B AD E的大小是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,長方形的四個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲線y=經(jīng)過點(diǎn)B.小軍同學(xué)在學(xué)做電子線路板時(shí)有一電子元件隨機(jī)落入長方形OABC中,則該電子元件落在圖中陰影區(qū)域的概率是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計(jì)算其體積V的近似公式V≈L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈
L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖13,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.
(1)求證:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.
圖13
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖16,四棱錐P ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
圖16
(1)求證:AB⊥PD.
(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,問AB為何值時(shí),四棱錐P ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為( )
A. B.16π C.9π D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖14,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動,且DP=BQ=λ(0<λ<2).
(1)當(dāng)λ=1時(shí),證明:直線BC1∥平面EFPQ.
(2)是否存在λ,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.
圖14
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖14,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動,且DP=BQ=λ(0<λ<2).
(1)當(dāng)λ=1時(shí),證明:直線BC1∥平面EFPQ.
(2)是否存在λ,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.
圖14
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值:x1,x2,x3,其概率依次成等差數(shù)列,則公差d的取值范圍是________.
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