如圖1­5,在四棱錐A ­BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,ABCD=2,DEBE=1,AC.

(1)證明:DE⊥平面ACD;

(2)求二面角B ­ AD ­ E的大。

圖1­5


解:(1)證明:在直角梯形BCDE中,由DEBE=1,CD=2,得BDBC,

AC,AB=2,

AB2AC2BC2,即ACBC.

又平面ABC⊥平面BCDE,從而AC⊥平面BCDE

所以ACDE.又DEDC,從而DE⊥平面ACD.

(2)方法一:

BBFAD,與AD交于點(diǎn)F,過點(diǎn)FFGDE,與AE交于點(diǎn)G,連接BG.由(1)知DEAD,則FGAD.所以∠BFG是二面角B ­ AD ­ E的平面角.

在直角梯形BCDE中,由CD2BC2BD2,

BDBC.

又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,從而BDAB.由AC⊥平面BCDE,得ACCD.

在Rt△ACD中,由DC=2,AC,得AD.

在Rt△AED中,由ED=1,AD,得AE.

在Rt△ABD中,由BD,AB=2,AD,得BF,AFAD.從而GFED.

在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分別可得cos∠BAE,BG.

在△BFG中,cos∠BFG.

所以,∠BFG,即二面角B ­ AD ­ E的大小是.

方法二:

D為原點(diǎn),分別以射線DE,DCx,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系D ­ xyz,如圖所示.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:

D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),

A(0,2,),B(1,1,0).

設(shè)平面ADE的法向量為m=(x1,y1,z1),

平面ABD的法向量為n=(x2,y2,z2).

可算得AD=(0,-2,-),AE=(1,-2,-),=(1,1,0).

可取m=(0,1,-).

可取n=(1,-1,).

于是|cos〈m,n〉|=.

由題意可知,所求二面角是銳角,

故二面角B ­ AD ­ E的大小是.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,長方形的四個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲線y經(jīng)過點(diǎn)B.小軍同學(xué)在學(xué)做電子線路板時(shí)有一電子元件隨機(jī)落入長方形OABC中,則該電子元件落在圖中陰影區(qū)域的概率是(  )

A.                                   B.

C.                                    D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計(jì)算其體積V的近似公式VL2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式VL2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為(  )

A.  B.  C.  D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


 如圖1­3,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點(diǎn).在五棱錐P ­ ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn),平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.

(1)求證:ABFG

(2)若PA⊥底面ABCDE,且PAAE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.

圖1­3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


 如圖1­6,四棱錐P ­ ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.

圖1­6

(1)求證:ABPD.

(2)若∠BPC=90°,PB,PC=2,問AB為何值時(shí),四棱錐P ­ ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為(  )

A.  B.16π  C.9π  D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖1­4,在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,ADA1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)PQ分別在棱DD1,BB1上移動,且DPBQλ(0<λ<2).

(1)當(dāng)λ=1時(shí),證明:直線BC1∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

圖1­4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖1­4,在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中,EF,MN分別是棱AB,ADA1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動,且DPBQλ(0<λ<2).

(1)當(dāng)λ=1時(shí),證明:直線BC1∥平面EFPQ.

(2)是否存在λ,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

圖1­4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值:x1,x2,x3,其概率依次成等差數(shù)列,則公差d的取值范圍是________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案