如圖16,四棱錐P ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
圖16
(1)求證:AB⊥PD.
(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,問(wèn)AB為何值時(shí),四棱錐P ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.
解:(1)證明:因?yàn)?i>ABCD為矩形,所以AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.
(2)過(guò)P作AD的垂線(xiàn),垂足為O,過(guò)O作BC的垂線(xiàn),垂足為G,連接PG.
故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG.
在Rt△BPC中,PG=,GC=
,BG=
.
設(shè)AB=m,則OP==
,故四棱錐P ABCD的體積為
V=×
·m·
=
.
因?yàn)?i>m=
=
,
所以當(dāng)m=,即AB=
時(shí),四棱錐P ABCD的體積最大.
此時(shí),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0,0),B,C
,D
,P
,故
=
,
=(0,
,0),CD=
.
設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量為n1=(x,y,1),
則由n1⊥,n1⊥
,得
解得x=1,y=0,則n1=(1,0,1).
同理可求出平面DPC的一個(gè)法向量為n2=.
設(shè)平面BPC與平面DPC的夾角為θ,則cos θ==
=
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).
(1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率;
(2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率;
(3)求使得事件“直線(xiàn)y=x與圓(x-3)2+y2=1相交”發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).
(1)求ξ的分布列、期望和方差;
(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,試求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖13,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設(shè)二面角DAEC為60°,AP=1,AD=,求三棱錐EACD的體積.
圖13
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖15,在四棱錐A BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.
(1)證明:DE⊥平面ACD;
(2)求二面角B AD E的大。
圖15
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為( )
A. B.16π C.9π D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖14所示,在四棱錐P ABCD中,PA⊥底面ABCD, AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE⊥DC;
(2)求直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F為棱PC上一點(diǎn),滿(mǎn)足BF⊥AC,求二面角F AB P的余弦值.
圖14
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為:
X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
P | 0.02 | 0.04 | 0.06 | 0.09 | 0.28 | 0.29 | 0.22 |
則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為( )
A.0.28 B.0.88
C.0.79 D.0.51
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