如圖1­6,四棱錐P ­ ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD.

圖1­6

(1)求證:ABPD.

(2)若∠BPC=90°,PB,PC=2,問(wèn)AB為何值時(shí),四棱錐P ­ ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.


解:(1)證明:因?yàn)?i>ABCD為矩形,所以ABAD.

又平面PAD⊥平面ABCD,

平面PAD∩平面ABCDAD,

所以AB⊥平面PAD,故ABPD.

(2)過(guò)PAD的垂線(xiàn),垂足為O,過(guò)OBC的垂線(xiàn),垂足為G,連接PG.

PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POGBCPG.

在Rt△BPC中,PG,GCBG.

設(shè)ABm,則OP,故四棱錐P ­ ABCD的體積為

V×·m·.

因?yàn)?i>m

,

所以當(dāng)m,即AB時(shí),四棱錐P ­ ABCD的體積最大.

此時(shí),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0,0),BC,D,P,故=(0,,0),CD.

設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量為n1=(x,y,1),

則由n1,n1,得解得x=1,y=0,則n1=(1,0,1).

同理可求出平面DPC的一個(gè)法向量為n2.

設(shè)平面BPC與平面DPC的夾角為θ,則cos θ.


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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為mn,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).

(1)求使得事件“ab”發(fā)生的概率;

(2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率;

(3)求使得事件“直線(xiàn)yx與圓(x-3)2y2=1相交”發(fā)生的概率.

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袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).

(1)求ξ的分布列、期望和方差;

(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,試求a,b的值.

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某幾何體的三視圖如圖1­2所示,則該幾何體的表面積為(  )

圖1­2

A.54  B.60  C.66  D.72

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


如圖1­3,四棱錐P­ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCDEPD的中點(diǎn).

(1)證明:PB∥平面AEC;

(2)設(shè)二面角D­AE­C為60°,AP=1,AD,求三棱錐E­ACD的體積.

圖1­3

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如圖1­5,在四棱錐A ­BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,ABCD=2,DEBE=1,AC.

(1)證明:DE⊥平面ACD;

(2)求二面角B ­ AD ­ E的大。

圖1­5

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 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為(  )

A.  B.16π  C.9π  D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


如圖1­4所示,在四棱錐P ­ ABCD中,PA⊥底面ABCD,  ADAB,ABDC,ADDCAP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明:BEDC

(2)求直線(xiàn)BE與平面PBD所成角的正弦值;

(3)若F為棱PC上一點(diǎn),滿(mǎn)足BFAC,求二面角F ­ AB ­ P的余弦值.

圖1­4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為:

X

4

5

6

7

8

9

10

P

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為(  )

A.0.28                                 B.0.88

C.0.79                                 D.0.51

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