Question

已知向量

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=

a

•

b

的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函數(shù)f（x）=的最值，并指出f（x）取得最值時(shí)x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得函數(shù)f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即可解得單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，解得-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即可得出最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴當(dāng)sin(2x+

π

6

)=-

1

2

時(shí)，原函數(shù)取得最小值0，此時(shí)x=-

π

6

，
當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1時(shí)，原函數(shù)取得最大值

3

2

，此時(shí)x=

π

6．

點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．