Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=a-

2

3x+1

（a∈R）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義得到關(guān)于x的恒等式，從而求出參數(shù)a的值，或者利用特殊情況求出參數(shù)的值，再用函數(shù)奇偶性定義法進行證明；（2）本題可以運用函數(shù)單調(diào)性定義證明，得到本題結(jié)論；（3）利用已知指數(shù)函數(shù)的值域，求出原函數(shù)的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）若存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，
∴a=1．
下面證明a=1時f（x）=1-

2

3x+1

是奇函數(shù)，
∵f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=-1+

2

1+3x

=-f（x），
∴f（x）=1-

2

3x+1

是R上的奇函數(shù)．
∴存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在R上的增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂∈R且設(shè)x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

3(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵y=3^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2且（3 x1+1）（3 x2+1）＞0，
 則f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（3）f（x）=1-

2

3x+1

中
∵3^x+1∈（1，+∞），
∴

2

3x+1

∈(0，2)，
∴1-

2

3x+1

∈（-1，1）．
∴函數(shù)f（x）的值域為：（-1，1）．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)的值域，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．