Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，F(xiàn)（x）=ex+ax，其中x＞0．
（1）若a＜0，f（x）和F（x）在區(qū)間（0，ln3）上具有相同的單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x2﹣f（x）有兩個極值點x1、x2 ， 且x1∈（0， ），求證：h（x1）﹣h（x2）＞ ﹣ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=a﹣ = ，F(xiàn)′（x）=ex+a，x＞0，

∵a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

當(dāng)﹣1≤a＜0時，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意；

當(dāng)a＜﹣1時，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），

∴F（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，ln（﹣a）），單調(diào)增區(qū)間為（ln（﹣a），+∞）．

∵f（x）和F（x）在區(qū)間（0，ln3）上具有相同的單調(diào)性，

∴l(xiāng)n（﹣a）≥ln3，解得a≤﹣3，

綜上，a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]

（2）解：證明：h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）= ，（x＞0），

x1x2= ，則x2= ，

h（x1）﹣h（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣lnx2﹣x22+ax2

=ln +[x1+x2﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）

=ln2+2lnx1﹣x12+ ，

令g（x1）=ln2+2lnx1﹣x12+ ，

則g′（x）= ﹣2x1﹣ =﹣ ，

∵0＜x1＜ ，∴g′（x1）＜0，

∴g（x1）在（0， ）上單調(diào)遞減，

∴g（x1）＞g（ ），而g（ ）= ﹣ln2，

即g（x1）＞ ﹣ln2，

∴h（x1）﹣h（x2）＞ ﹣ln2

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍即可；（2）先求出h（x1）﹣h（x2）=ln2+2lnx1﹣x12+ ，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論．
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．