Question

已知x≥1，則函數(shù)f（x）=2log₃（x+

3

x

-

3

）的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=x+

3

x

，（x≥1）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出值域，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：令g（x）=x+

3

x

，（x≥1）．
則g′（x）=1-

3

x2

=

(x+ 3 )(x- 3 )

x2

．
令g′（x）＞0，解得x＞

3

，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得1≤x＜

3

，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

3

時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g(

3

)=2

3

．
∴x+

3

x

-

3

≥

3

．
∴函數(shù)f（x）=2log₃（x+

3

x

-

3

）≥log3

3

=

1

2

．
∴函數(shù)f（x）=2log₃（x+

3

x

-

3

）的值域為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．