Question

【題目】已知函數(shù)，其中a為非零常數(shù)．

討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

若，證明：在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)a進(jìn)行分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可確定極值，

轉(zhuǎn)化為證明只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證；

由題意可得，，代入可得，，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可證．

解：解：由已知，的定義域?yàn)?/span>，

，

①當(dāng)時(shí)，，從而，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，令，

則由于在上單調(diào)遞減，，，

所以存在唯一的，使得，

所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，

所以當(dāng)時(shí)，在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)；

證明：由知．

令，由得，

所以在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，

不妨設(shè)為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以是的唯一極值點(diǎn)．

令，則當(dāng)時(shí)，，

故在內(nèi)單調(diào)遞減，

從而當(dāng)時(shí)，，所以．

從而當(dāng)時(shí)，，且

又因?yàn)?/span>，故在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．

由題意，即，

從而，即．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，

故，即，

兩邊取對(duì)數(shù)，得，

于是，整理得．