【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓:的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓，為橢圓上一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點Q．

（i）若為橢圓上任意一點，求的值；

（ii）若點坐標為，求面積的最大值．

【答案】（1）．（2）（i）2（ii）．

【解析】

（1）根據(jù)和，可得到，代入點到橢圓的方程，解出和的值即可得解；

（2）（i）先由（1）中的結論得出橢圓E的方程，設點，寫出射線的方程，再將其代入橢圓的方程可得到點的坐標，然后利用兩點間距離公式分別求出，并作比即可得解；

（ii）利用點到直線的距離公式可得到點到直線的距離，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去得到關于的一元二次方程，然后利用弦長公式求出，即可表示出的面積，再結合換元法和對勾函數(shù)的性質即可求得面積的最大值．

（1）由題意可知，，

∵，∴，

又橢圓過點，∴，解得，∴，

∴橢圓C的方程為．

（2）（i）由（1）可知，橢圓E的方程為，設點，

∴射線的方程為，代入可得點，

∴．

（ii）∵，∴過點P的直線為，

∵點Q到直線AB的距離等于原點O到直線AB距離的3倍，

∴，

聯(lián)立，得，

∴弦長，

∴面積，

令，則，

當且僅當時，等號成立．

故面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足.

（1）求出動點的軌跡的標準方程；

（2）設動直線與曲線有且僅有一個公共點，與圓相交于兩點（兩點均不在坐標軸上），求直線的斜率之積.

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（1）求概率的值；

（2）求的分布列，并求其數(shù)學期望．

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【題目】已知P是圓上任意一點，F2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程.

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（1）求證：平面.

（2）求二面角的大小.

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【題目】如圖，在正方體，點在線段上運動，則下列判斷正確的是（ ）

①平面平面

②平面

③異面直線與所成角的取值范圍是

④三棱錐的體積不變

A.①②B.①②④C.③④D.①④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知，，是橢圓的三個頂點，橢圓的離心率，點到直線的距離是.設是橢圓上位于軸左邊上的任意一點，直線，分別交直線于，兩點，以為直徑的圓記為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：圓始終與圓：相切，并求出所有圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：

質量指標值分組

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（II）估計這種產(chǎn)品質量指標值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（III）根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

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【題目】已知函數(shù)，其中a為非零常數(shù)．

討論的極值點個數(shù)，并說明理由；

若，證明：在區(qū)間內有且僅有1個零點；設為的極值點，為的零點且，求證：．

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