Question

已知函數(shù)f（x）=a+b^x（b＞0，b≠1）的圖象過點（1，4）和點（2，16）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）解不等式f（x）＞（

1

2

） 3-x2；
（3）當(dāng)x∈（-3，4]時，求函數(shù)g（x）=log₂f（x）+x²-6的值域．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),指數(shù)函數(shù)的圖像變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把點代入即可求出f（x）的表達式，
（2）根據(jù)指數(shù)的單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為2x＞x²-3，解不等式即可；
（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)g（x）轉(zhuǎn)化為g（x）=（x+1）²-7，根據(jù)定義域即可求出值域

解答： 解：（1）由題知

4=a+b 16=a+b2

解得

a=0 b=4

或

a=7 b=-3

（舍去）
∴數(shù)f（x）=4^x，
（2）f（x）＞（

1

2

） 3-x2，
∴4^x＞（

1

2

） 3-x2，
∴2^2x＞2x2-3
∴2x＞x²-3
解得-1＜x＜3
∴不等式的解集為（-1，3），
（3）∵g（x）=log₂f（x）+x²-6=log₂4^x+x²-6=2x+x²-6=（x+1）²-7，
∴x∈（-3，4]，
∴g（x）_min=-7，
當(dāng)x=4時，g（x）_max=18 　
∴值域為[-7，18]

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題