Question

【題目】設為下述正整數(shù)的個數(shù)：的各位數(shù)字之和為，且每位數(shù)字只能取，或

（1）求，，，的值；

（2）對，試探究與的大小關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2），證明詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件，依次取，列出符合的正整數(shù)，從而得到個數(shù)，得到所求結果；（2）由（1）猜想可知：，首先證得當時，，再用數(shù)學歸納法證得，接著用數(shù)學歸納法證明猜想的結論成立.

（1），則 ；

，則 ；

，則或 ；

，則，，， ；

綜上：，，，

（2）由（1）猜想：；

記，其中且

假定，刪去，則當依次取時，分別等于，，

故當時，

先用數(shù)學歸納法證明下式成立：

①時，由（1）得：，結論成立；

②假設當時，

當時，

當時，結論成立；

綜合①②，，

再用數(shù)學歸納法證明下式成立：

①當時，由（1）得：，結論成立；

②假設當時，

當時，

當時，結論成立；

綜合①②，，