Question

【題目】四棱錐中，底面為矩形，，為的中點．

(1)證明：；

(2)設(shè)，三棱錐的體積，求二面角DAEC的大小

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題（1）可先連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO，根據(jù)中位線性質(zhì)可證明EO//P，從而可得結(jié)論；（2）由三棱錐的體積，可得，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A—xyz, 分別求出平面DAE與平面ACE的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO

因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點

又E為的PD的中點，所以EO//PB

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB//平面AEC

（2）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直

如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,

三棱錐的體積,

則A(0, 0 ,0)， D(0, ,0)，B(,0,0)，E(0, ,)，C (, ,0)，

則=(0, ,)， =(, ,0)，設(shè)為平面ACE的法向量，

則 即

令，得，，則

又為平面DAE的法向量，

，

如圖可得二面角為銳角，所以二面角為

【方法點晴】

本題主要考查線面平行以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.