Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導函數(shù)f′（x）＜

1

3

，則f（x）＜

x

3

+

2

3

的解集為（　�。�

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|＜-1}
• C、{x|x＜-1或x＞1}
• D、{x|x＞1}

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

x

3

-

2

3

，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：設g（x）=f（x）-

x

3

-

2

3

，則函數(shù)的g（x）的導數(shù)g′（x）=f′（x）-

1

3

，
∵f（x）的導函數(shù)f′（x）＜

1

3

，
∴g′（x）=f′（x）-

1

3

＜0，
則函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-

1

3

-

2

3

=1-1=0，
則不等式f（x）＜

x

3

+

2

3

，等價為g（x）＜0，
即g（x）＜g（1），
則x＞1，
即f（x）＜

x

3

+

2

3

的解集{x|x＞1}，
故選：D

點評：本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．