Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，求a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：數(shù)列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，兩邊同時乘以3ⁿ⁺¹，得3n+1an+1=3nan+(

3

2

)n+1，從而3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿan=（

3

2

）ⁿ⁺¹，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，
兩邊同時乘以3ⁿ⁺¹，得3n+1an+1=3nan+(

3

2

)n+1，
從而3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿan=（

3

2

）ⁿ⁺¹，
從而有：
3ⁿa_n-3ⁿ⁺¹a_n-1=（

3

2

）ⁿ，
3ⁿ⁺¹a_n-1-3ⁿ⁺²a_n-2=（

3

2

）ⁿ⁺¹，
3²a₂-3a₁=（

3

2

）²，
3a₁=

5

2

，
累加得3ⁿa_n=3（

3

2

）ⁿ-2，
故a_n=

3

2n

-

2

3n

．
綜上，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

3

2n

-

2

3n

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累加法的合理運用．