Question

已知f（x）=xlnx-

1

2

mx²-x，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=-2時，求函數(shù)f（x）的所有零點；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：x₁x₂＞e²（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=-2時，f（x）=xlnx+x²-x=x（lnx+x-1），x＞0．設(shè)g（x）=lnx+x-1，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出；
（Ⅱ）欲證x₁x₂＞e²，需證lnx₁+lnx₂＞2．若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，即函數(shù)f′（x）有兩個零點x₁，x₂．又f′（x）=lnx-mx，可得m=

lnx1+lnx2

x1+x2

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，即lnx₁+lnx₂=

(1+ x2 x1 )ln x2 x1

x2 x1 -1

．又0＜x₁＜x₂，設(shè)t=

x2

x1

，則t＞1．可得lnx₁+lnx₂=

(1+t)lnt

t-1

，t＞1．要證lnx₁+lnx₂＞2，即證：

(t+1)lnt

t-1

＞2，t＞1．lnt＞

2(t-1)

t+1

．設(shè)函數(shù)h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）解：當(dāng)m=-2時，f（x）=xlnx+x²-x=x（lnx+x-1），x＞0．
設(shè)g（x）=lnx+x-1，x＞0，則g′(x)=

1

x

+1＞0，于是g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
又g（1）=0，∴g（x）有唯一零點x=1．
從而，函數(shù)f（x）有唯一零點x=1．

（Ⅱ）證明：欲證x₁x₂＞e²，需證lnx₁+lnx₂＞2．
若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，即函數(shù)f′（x）有兩個零點．
又f′（x）=lnx-mx，∴x₁，x₂，是方程f′（x）=0的兩個不同實根．
于是，有

lnx1-mx1=0 lnx2-mx2=0

．解之得，m=

lnx1+lnx2

x1+x2

．
另一方面，lnx₂-lnx₁=m（x₂-x₁），
從而可得，

lnx2-lnx1

x2-x1

=

lnx1+lnx2

x1+x2

．
于是lnx₁+lnx₂=

(1+ x2 x1 )ln x2 x1

x2 x1 -1

．
又0＜x₁＜x₂，設(shè)t=

x2

x1

，則t＞1．
因此，lnx₁+lnx₂=

(1+t)lnt

t-1

，t＞1．
要證lnx₁+lnx₂＞2，
即證：

(t+1)lnt

t-1

＞2，t＞1．即：當(dāng)t＞1時，有l(wèi)nt＞

2(t-1)

t+1

．
設(shè)函數(shù)h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1．
則h′(t)=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴h（t）為（1，+∞）上的增函數(shù)．注意到，h（1）=0．
因此，h（t）＞h（1）＞0．
于是，當(dāng)t＞1時，有l(wèi)nt＞

2(t-1)

t+1

．
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂＞2成立，即x1x2＞e2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、換元法、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了等價轉(zhuǎn)化能力，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．