Question

設(shè)函數(shù)g（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-bx，（a，b∈R）在其圖象上一點P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，求

∫

4 -2

f（x）dx；
（Ⅱ）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,定積分,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，求出f（x），再求

∫

4 -2

f（x）dx；
（Ⅱ）由g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，可得f（x）=g′（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立，求出

a+b≥1 b-3a≥9

，再利用a²+b²可視為

a+b≥1 b-3a≥9

內(nèi)的點到原點距離的平方，即可求a²+b²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f（x）=g′（x）=x²+ax-b，
∵方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，
∴-2和4是x²+ax-b=0的兩個實根，
∴

-2+4=-a -2×4=-b

，
∴a=-2，b=8，
∴f（x）=x²-2x-8，
∴

∫

4 -2

f（x）dx=

∫

4 -2

（x²-2x-8）dx=（

1

3

x³-x²-8x）

|

4 -2

=-36；
（Ⅱ）∵g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（x）=g′（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立，
∴

f(-1)≤0 f(3)≤0

，∴

a+b≥1 b-3a≥9

，
a²+b²可視為

a+b≥1 b-3a≥9

內(nèi)的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，
∴a=-2，b=3時，a²+b²的最小值為13．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．