Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}，{an2}都是等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若2Sn=an2+an，試比較

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

與1的大�。�

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知條件得到2a22=a12+a32，由此能求出d=0，從而得到a_n=1．
（Ⅱ）由2Sn=an2+an，得2Sn-1=an-12+an-1，二者相減能夠推導出a_n=n，由此利用裂項相減法能比較

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

與1的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}，{an2}都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∴2a22=a12+a32，∴2（a₁+d）²=a12+（a₁+2d）²，
∵a₁=1，∴2（1+d）²=1+（1+2d）²，
整理，得2d²=0，∴d=0，∴a_n=1．…5分
（Ⅱ）由于2Sn=an2+an①
當n≥2時，2Sn-1=an-12+an-1②
由①-②得：an+an-1=

a

2 n

-an-12，
又a_n＞0∴an-an-1=1 (n≥2，n∈N*)，…10分
又a₁=1，∴a_n=n；
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1．…13分．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查兩個數(shù)的大小的比較，是中檔題，解題時要注意等差數(shù)列的通項公式、裂項求和的合理運用．