Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax，g（x）=e^x，a∈R且a≠0，e=2.718…，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）在[-1，1]上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）令函數(shù)p（x）=f'（x）•g（x），若?a∈[1，3]，函數(shù)p（x）在區(qū)間[b+a-e^a，+∞]上均為增函數(shù)，求證：b≥e³-7．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，h′（x）=$\frac{1}{2}{e}^{x}[{x}^{2}+2（a+1）x+2a]$，令t（x）=x²+2（a+1）x+2a，求出t（x）的兩個(gè)零點(diǎn)${x}_{1}=-a-1-\sqrt{{a}^{2}+1}$＜-1，${x}_{2}=-a-1+\sqrt{{a}^{2}+1}$＞-1．然后分a≤$-\frac{3}{4}$和a＞-$\frac{3}{4}$討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）在[-1，1]上的一個(gè)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）由函數(shù)p（x）在區(qū)間[b+a-e^a，+∞]上為增函數(shù)，可得p′（x）=e^x（x+a+1）≥0在區(qū)間[b+a-e^a，+∞]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x+a+1≥0在區(qū)間[b+a-e^a，+∞]上恒成立，得到b≥e^a-2a-1對(duì)?a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=e^a-2a-1，求導(dǎo)可得φ（a）=e^a-2a-1在[1，3]上為增函數(shù)，則φ（a）的最大值為φ（3）=e³-7．從而證得b≥e³-7．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax，g（x）=e^x，
∴h（x）=f（x）•g（x）=（$\frac{1}{2}$x²+ax）e^x，h′（x）=$\frac{1}{2}{e}^{x}[{x}^{2}+2（a+1）x+2a]$，
令t（x）=x²+2（a+1）x+2a，由t（x）=0，得${x}_{1}=-a-1-\sqrt{{a}^{2}+1}$＜-1，${x}_{2}=-a-1+\sqrt{{a}^{2}+1}$＞-1．
若a≤$-\frac{3}{4}$，則x₂≥1，t（x）≤0在[-1，1]上恒成立，即h′（x）在[-1，1]上恒成立，h（x）單調(diào)遞減，在[-1，1]上無(wú)極值點(diǎn)；
若a＞-$\frac{3}{4}$，則-1＜x₂＜1，當(dāng)x∈[-1，x₂）時(shí)，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x₂，1]時(shí)，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴x₂是函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）在[-1，1]上的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅱ）證明：p（x）=f'（x）•g（x）=（x+a）e^x，p′（x）=e^x（x+a+1），
∵函數(shù)p（x）在區(qū)間[b+a-e^a，+∞]上為增函數(shù)，∴e^x（x+a+1）≥0在區(qū)間[b+a-e^a，+∞]上恒成立，
即x+a+1≥0在區(qū)間[b+a-e^a，+∞]上恒成立，
則b+a-e^a+a+1≥0對(duì)?a∈[1，3]恒成立，
∴b≥e^a-2a-1對(duì)?a∈[1，3]恒成立，
令φ（a）=e^a-2a-1，則φ′（a）=e^a-2＞0，
∴φ（a）=e^a-2a-1在[1，3]上為增函數(shù)，則φ（a）的最大值為φ（3）=e³-7．
∴b≥e³-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬難題．