Question

在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，已知

m

=（a，b），

n

=（cosA，cosB），

p

=（2

2

sin

B+C

2

，2sinA），若

m

∥

n

，

p

²=9，求證：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形,平面向量的綜合題

專題：解三角形

分析：由題意，將

m

∥

n

，

p

²=9轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角方程acosB=bcosA，且8sin²

B+C

2

+4sin²A=9，再變形即可證明．

解答： 證明：由題，

m

=（a，b），

n

=（cosA，cosB），

p

=（2

2

sin

B+C

2

，2sinA），若

m

∥

n

，

p

²=9，
可得acosB=bcosA，且8sin²

B+C

2

+4sin²A=9
由acosB=bcosA得，sinAcosB=sinBcosA，移項(xiàng)得sin（A-B）=0，所以有A-B=0，即A=B，故為等腰三角形；
由8sin²

B+C

2

+4sin²A=9得8×

1-cos(B+C)

2

+4sin²A=4sin²A+4cosA+4=9，解得cosA=

1

2

，所以A=

π

3

；
所以△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形形狀的判斷，向量共線的坐標(biāo)表示，模的求法，三角恒等變換等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想及方程的思想