Question

設(shè)向量

a

=（sin

π

2

x，cos

π

2

x，

b

=（sin

π

2

x，

3

sin

π

2

x），x∈R，函數(shù)f（x）=

a

•（

a

+2

b

）．
（1）求f（x）在[0，1]上的最大值和最小值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

1

6

個單位后，再將得到的圖象上的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，計算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2015）．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,對數(shù)的運算性質(zhì),三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)表示出f（x）的解析式，利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，最后利用正弦函數(shù)的有界性確定最值．
（2）由三角函數(shù)的圖象變換求出g（x）的解析式，發(fā)現(xiàn)g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2015）的周期再求值．

解答： 解：因為

a

=（sin

π

2

x，cos

π

2

x），

b

=（sin

π

2

x，

3

sin

π

2

x），x∈R，
所以函數(shù)f（x）=

a

•（

a

+2

b

）=（sin

π

2

x，cos

π

2

x）（3sin

π

2

x，cos

π

2

x+2

3

sin

π

2

x）
=3sin²

π

2

x+cos²

π

2

x+2

3

cos

π

2

xsin

π

2

x=2+2sin（πx-

π

6

），
所以（1）f（x）在[0，1]上的最大值為4和最小值1；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

1

6

個單位后，再將得到的圖象上的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則g（x）=2+2sin

π

2

x，
其周期為：4，所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=0，所以g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2015）=g（1）+g（2）+g（3）=0．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度．