Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_n+2是S_n和8的等比中項(xiàng)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜

1

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+2是S_n和8的等比中項(xiàng)得到數(shù)列{a_n}的遞推式8Sn=(an+2)2，然后取n=1求得數(shù)列首項(xiàng)，再取n=n+1得另一遞推式，作差后即可得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=

1

an•an+1

，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，放縮后即可證得數(shù)列不等式
T_n＜

1

8

．

解答： （1）解：∵a_n+2是S_n和8的等比中項(xiàng)，
∴8Sn=(an+2)2，①
當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁，8a1=(a1+2)2，解得a₁=2，
又8Sn+1=(an+1+2)2，②
②-①得，8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2，則（a_n+1+a_n）•（a_n+1-a_n-4）=0．
又∵{a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，
∴（a_n+1+a_n）≠0⇒（a_n+1-a_n-4）=0⇒a_n+1-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列．
則a_n=2+4（n-1）=4n-2；
（2）證明：bn=

1

an•an+1

=

1

(4n-2)(4n+2)

=

1

4

(

1

(4n-2)

-

1

(4n+2)

)，
則Tn=b1+b2+…bn=

1

4

(

1

2

-

1

6

+

1

6

-

1

10

+…+

1

(4n-2)

-

1

(4n+2)

)
=

1

4

(

1

2

-

1

4n+2

)=

1

8

(1-

1

2n+1

)．
又∵n≥1，∴Tn＜

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．