Question

【題目】已知奇函數(shù)（實數(shù)、為常數(shù)），且滿足．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；

（3）當時，函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．證明見解析；（3）．

【解析】

（1）利用奇函數(shù)的定義，結(jié)合列方程組，解方程組求得的解析式.

（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性的定義計算得，來證明結(jié)論成立.

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得的最小值，結(jié)合函數(shù)恒成立列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）由于函數(shù)為奇函數(shù)，故，由于，所以，解得，所以.

（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.任取，，由于，所以，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（3）由（2）值在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，取得最小值為，由于函數(shù)恒成立，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.