設a,b,c∈R,且a+b+c=2,a2+b2+c2=12,則c的最大值和最小值的差為
 
考點:基本不等式
專題:不等式的解法及應用
分析:由a+b+c=2,有a+b=2-c.由a2+b2+c2=12知,(a+b)2-2ab+c2=12,代入可得(2-c)2-2ab+c2=12,整理得ab=c2-2c-4.于是a,b可以看成是關于x的方程x2-(2-c)x+c2-2c-4=0的兩根,利用判別式即可得出.
解答: 解:由a+b+c=2,有a+b=2-c.
由a2+b2+c2=12知,(a+b)2-2ab+c2=12,
代入可得(2-c)2-2ab+c2=12,
整理得ab=c2-2c-4.
于是a,b可以看成是關于x的方程x2-(2-c)x+c2-2c-4=0的兩根,
∴△=(2-c)2-4(c2-2c-4)≥0,解得-2≤c≤
10
3

于是最大值與最小值之差為
16
3

故答案為:
16
3
點評:本題考查了可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系,考查了推理能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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對某校高三學生一個月內(nèi)參加體育活動的次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學生作為樣本,得到這M名學生參加體育活動的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如圖:
(Ⅰ)求a的值,并根據(jù)此直方圖估計該校高三學生在一個月內(nèi)參加體育活動的次數(shù)的中位數(shù)(精確到個位數(shù));
(Ⅱ)在所取的樣本中,從參加體育活動的次數(shù)不少于20次的學生中任取4人,記此4人中參加體育活動不少于25次的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望.

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已知函數(shù)f(x)=2x2-alnx.
(Ⅰ)若a=4,求函數(shù)f(x)的極小值;
(Ⅱ)試問:對某個實數(shù)m,方程f(x)=m-cos2x在x∈(0,+∞)上是否存在三個不相等的實根?若存在,請求出實數(shù)a的范圍;若不存在,請說明理由.

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已知公差大于零的等差數(shù)列a1•a4=13,a2+a3=14,則an=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

關于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),以下說法正確的有
 

①f(x)可能無零點;
②f(x)一定是中心對稱圖形,且對稱中心一定在f(x)的圖象上;
③f(x)至多有2個極值點;
④當f(x)有兩個不同的極值點x1,x2,且
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
<1,f(x1)=x1,則方程3a[f(x)]2+2bf(x)+c=0的不同實根個數(shù)為3個或4個.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1•a2•a3•…•an=n2,則a3+a5=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式ax2+bx+2≤0的解集為{x|x≤-1或x≥2},則不等式ax2+2bx+2>0的解集是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,平面PBC⊥底面ABCD,且PB=PC=
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.設面PAD與面PBC的交線為l,則二面角A-l-B的大小為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過點(-4,-3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線的方程為
 

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