Question

【題目】已知橢圓上任意一點到其兩個焦點，的距離之和等于，且圓經過橢圓的焦點．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，若直線與圓O相切，且與橢圓相交于A，B兩點，直線與平行且與橢圓相切于點M（O，M位于直線的兩側）．記，的面積分別為，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）已知橢圓上任意一點到其兩個焦點，的距離之和等于，可得，圓經過橢圓的焦點，求得，即可求得橢圓的方程；

（2）由于與圓相切，可得，聯(lián)立橢圓和方程，由直線與橢圓相切，可得，根據三角形面積公式求得，，進而求得的取值范圍.

（1）已知橢圓上任意一點到其兩個焦點，的距離之和等于

由橢圓定義可得，

．

橢圓的焦點在上

圓與交點為

又圓經過橢圓的焦點

可得橢圓

，

故橢圓方程為．

（2）由于與圓相切，

根據點到直線距離公式可得圓的圓心到直線的距離為：，

即．

設直線的方程為，

聯(lián)立橢圓和方程，可得消去y，

可得：，

直線與橢圓相切，

，整理得．

直線與之間的距離，，，

．

可得：．

，

，

，

又，位于直線的兩側，

m，n同號，

，

，，

故的取值范圍是：．