【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓上的點(diǎn)和長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試證明：直線與軸的交點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)，且（為原點(diǎn)）．

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，可得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由、、三點(diǎn)共線可得出

（1）由題意得，解得，．

所以橢圓的方程為；

（2）由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)為，

設(shè)、，則，設(shè)，

聯(lián)立消去得：，

由得，即時(shí)，，一定存在，

，.

當(dāng)斜率不為時(shí)：因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，，

，即，

即

化簡(jiǎn)，

代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，即，，

，且，

當(dāng)斜率時(shí)，直線與軸重合，滿足結(jié)論．

綜上，直線與軸的交點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)，且

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】口袋中有大小、形狀、質(zhì)地相同的兩個(gè)白球和三個(gè)黑球．現(xiàn)有一抽獎(jiǎng)游戲規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)?wù)呙看斡蟹呕氐膹目诖须S機(jī)取出一個(gè)球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累計(jì)次數(shù)達(dá)到n＋1時(shí)，則終止取球且獲獎(jiǎng)，其它情況均不獲獎(jiǎng)．記獲獎(jiǎng)概率為．

（1）求；

（2）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系.每年交強(qiáng)險(xiǎn)最終保險(xiǎn)費(fèi)計(jì)算方法是：交強(qiáng)險(xiǎn)最終保險(xiǎn)費(fèi)，其中a為交強(qiáng)險(xiǎn)基礎(chǔ)保險(xiǎn)費(fèi)，A為與道路交通事故相聯(lián)系的浮動(dòng)比率，同時(shí)滿足多個(gè)浮動(dòng)因素的，按照向上浮動(dòng)或者向下浮動(dòng)比率的高者計(jì)算.按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)基礎(chǔ)費(fèi)率表》的規(guī)定：普通6座以下私家車的交強(qiáng)險(xiǎn)基礎(chǔ)保險(xiǎn)費(fèi)為950元，交強(qiáng)險(xiǎn)費(fèi)率浮動(dòng)因素及比率如下表：

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

類型

浮動(dòng)因素

浮動(dòng)比率

上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

上一個(gè)年度發(fā)生兩次及以上有責(zé)任道路交通事故

上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

類型

數(shù)量

25

10

10

25

20

10

以這100輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題.

（1）記X為一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字）；

（2）某二手車銷售商專門(mén)銷售這一品牌的二手車，且將經(jīng)銷商購(gòu)車后下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)最終保險(xiǎn)費(fèi)高于交強(qiáng)險(xiǎn)基礎(chǔ)保險(xiǎn)費(fèi)的車輛記為事故車，假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損3000元，購(gòu)進(jìn)一輛非事故車盈利5000元.

①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有一輛是事故車的概率；

②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若有3個(gè)極值點(diǎn)，，（其中），證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)），若四邊形的面積為，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)則x∈[﹣1，e]時(shí)，f（x）的最小值為_____；設(shè)g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函數(shù)g（x）有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式，2015年至2019年五年期間，中國(guó)的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長(zhǎng)，居世界前列現(xiàn)收集我國(guó)近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表

年份

2015

2016

2017

2018

2019

編號(hào)

1

2

3

4

5

企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）

2.156

3.727

8.305

24.279

36.224

注：參考數(shù)據(jù)（其中z＝lny）．

附：樣本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的最小二乘法估計(jì)公式為

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，y＝a+bx與y＝cedx（其中e＝2.71828…，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測(cè)未來(lái)幾年我國(guó)區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）；

（3）為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”，已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，哪兩個(gè)公司進(jìn)行首場(chǎng)比賽時(shí)，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：若，不等式成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓上任意一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和等于，且圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，若直線與圓O相切，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，直線與平行且與橢圓相切于點(diǎn)M（O，M位于直線的兩側(cè)）．記，的面積分別為，，求的取值范圍．

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