Question

已知定義在（-∞，-1）∪（1，+∞）函數(shù)滿足：①f（4）=1；②對任意x＞2均有f（x）＞0；③對任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy-x-y+2）．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)k，使得f（sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k）＜2對任意的θ∈[0，π]恒成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）將條件③變形得到f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）對任意m，n＞0均成立，其中m=x-1，n=y-1，令m=n=1，即可解得f（2）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ），將f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）變形得f（mn+1）-f（n+1）=f（m+1），則要證明f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，只需m＞1即可．顯然當m＞1即m+1＞2時f（m+1）＞0；
（Ⅲ）利用條件①②將問題轉化為是否存在實數(shù)k使得sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜-

10

9

或1＜sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜10對任意的θ∈[0，π]恒成立．再令t=sinθ+cosθ，t∈[-1，

2

]，則問題等價于t²-（k-4）t+k-1＜-

10

9

或1＜t²-（k-4）t+k-1＜10對t∈[-1，

2

]恒成立．分情況討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解題．

解答： 解：（Ⅰ）由條件③可知f（x）+f（y）=f（xy-x-y+2）
=f[x（y-1）+（1-y）+1]
=f[（y-1）（x-1）+1]，
令m=x-1，n=y-1，
則由x＞1，y＞1知m，n＞0，
并且f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）對任意m，n＞0均成立．
令m=n=1，即有f（2）+f（2）=f（2），
故得f（2）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），將f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）變形得：
f（mn+1）-f（n+1）=f（m+1），
要證明f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，只需m＞1即可．
設x₂=mn+1，x₁=n+1，其中m，n＞0，m＞1，
則x₂-x₁=n（m-1）＞0，故x₂＞x₁，
則f（x₂）-f（x₁）=f（mn+1）-f（n+1）=f（m+1），m＞1，m+1＞2，
所以f（m+1）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）∵由f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）對任意m，n＞0均成立，及f（4）=1
∴令m=n=3，有f（4）+f（4）=f（10），即f（10）=2．
令m=9，n=

1

9

，則f（9+1）+f（

1

9

+1）=f（9×

1

9

+1）=f（2），
故f（

10

9

）=f（2）-f（10）=-2，
由奇偶性得f（-

10

9

）=-2，
則f（x）＜2的解集是(-∞，-

10

9

)∪(1，10)．
于是問題等價于是否存在實數(shù)k使得sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜-

10

9

或1＜sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k＜10對任意的θ∈[0，π]恒成立．
令t=sinθ+cosθ，t∈[-1，

2

]，問題等價于
t²-（k-4）t+k-1＜-

10

9

或1＜t²-（k-4）t+k-1＜10對t∈[-1，

2

]恒成立．
令g（t）=t²-（k-4）t+k-1，則g（t）＜-

10

9

對t∈[-1，

2

]恒成立的
必要條件是

g(-1)＜- 10 9 g( 2 )＜- 10 9

，即

2k-3+ 1 9 ＜0 - 2 k+k+1+ 1 9 ＜0

解得

k＜ 13 9 k＞8+ 19 9 +4 2 + 19 2 9

，此時無解；
同理1＜g（t）＜10恒成立的必要條件是

1＜g(-1)＜10 1＜g( 2 )＜10

，即

1＜2k-4＜10 1＜(1- 2 )k+4 2 +1＜10

解得

5 2 ＜k＜7 -1-5 2 ＜k＜8+4 2

，即

5

2

＜k＜7；
當

5

2

＜k＜7時，g（t）=t²-（k-4）t+k-1的對稱軸t0=

k-4

2

∈(-

3

4

，

3

2

)．
下面分兩種情況討論：
（1）當4+2

2

≤k＜7時，對稱軸t0=

k-4

2

∈[

2

，

3

2

)在區(qū)間[-1，

2

]的右側，
此時g（t）=t²-（k-4）t+k-1在區(qū)間[-1，

2

]上單調(diào)遞減，
1＜g（t）＜10恒成立等價于

1＜g(-1)＜10 1＜g( 2 )＜10

恒成立，
故當4+2

2

≤k＜7時，1＜g（t）＜10恒成立；
（2）當

5

2

＜k＜4+2

2

時，對稱軸t0=

k-4

2

∈(-

3

4

，

2

)在區(qū)間[-1，

2

]內(nèi)，
此時g（t）=t²-（k-4）t+k-1在區(qū)間[-1，

2

]上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，
1＜g（t）＜10恒成立還需g(t)min=g(

k-4

2

)＞1，即

(k-4)2

4

-(k-4)

k-4

2

+k-1＞1，
化簡為k²-12k+24＜0，解得6-2

3

＜k＜6+2

3

，
從而

6-2 3 ＜k＜6+2 3 5 2 ＜k＜4+2 2

，解得6-2

3

＜k＜4+2

2

；
綜上所述，存在k∈(6-2

3

，7)，使得f（sin2θ-（k-4）（sinθ+cosθ）+k）＜2對任意的θ∈[0，π]恒成立．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的運算，單調(diào)性，以及函數(shù)恒成立問題，需要較強的分析、計算能力，屬于難題．