Question

已知函數(shù)f（x）=

x+2

+k，k為已知的實數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；并判斷其在定義域上的單調(diào)性（不必證明）；
（2）當k=-2時，設(shè)f（x）≤0的解集為A，函數(shù)g（x）=lg（sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x）的定義域為B，若（A∪B）⊆B，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在實數(shù)-2≤a＜b，使f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),集合

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，求出它的定義域和值域，并判斷它的單調(diào)性；
（2）求k=-2時，f（x）≤0的解集A，由（A∪B）⊆B得，A⊆B；轉(zhuǎn)化為-2≤x≤2時，sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x恒成立，從而求出對應(yīng)a的取值范圍；
（3）由題意，得方程

x+2

+k=x有兩個不等根，令

x+2

=t，化為2t²-t-4-k=0在[0，+∞）上有兩個不等實根，從而求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x+2

+k，
∴

x+2

≥0，
∴

x+2

+k≥k，
∴函數(shù)f（x）的值域是[k，+∞）；
又∵x+2≥0，∴x≥-2，
∴在f（x）的定義域[-2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）當k=-2時，f（x）≤0可化為

x+2

-2≤0，
解得-2≤x≤2，
∴該不等式的解集為A=[-2，2]；
由（A∪B）⊆B得，A⊆B；
即-2≤x≤2時，sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x恒成立；
當cos

π

6

x=0，即x=6k+3，k∈Z時，g（x）=lg1=0，（A∪B）⊆B不成立；
當cos

π

6

x≠0時，由sin²

π

6

x-3sin

π

6

xcos

π

6

x+acos²

π

6

x＞0得：
tan²

π

6

x-3tan

π

6

x+a＞0；
由-2≤x≤2得，-

π

3

≤

π

6

x≤

π

3

，-

3

≤tan

π

6

x≤

3

；
令t=tan

π

6

x，則t²-3t+a＞0，
即a＞-t²+3t在[-

3

，

3

]上恒成立；
當t=

3

2

時，-t²+3t取得最大值

9

4

；
∴a＞

9

4

；
即實數(shù)a的取值范圍為（

9

4

，+∞）；
（3）∵f（x）在定義域上遞增；
∴

f(a)= a+2 +k=2a f(b)= b+2 +k=2b

；
∴方程

x+2

+k=x有兩個不等根；
令

x+2

=t，則t+k=2（t²-2）；
即2t²-t-4-k=0在[0，+∞）上有兩個不等根；
∴

△=1-4×2(-4-k)＞0 -4-k 2 ≥0

，
解得-

33

8

＜k≤-4；
∴實數(shù)k的取值范圍為（-

33

8

，-4]．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、值域的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，以及函數(shù)單調(diào)性和閉區(qū)間上最值問題，是綜合性題目．