已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c圖象上的點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=-3x+1.
(1)若函數(shù)f(x)在x=-2時(shí)有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)f′(x)=-3x2+2ax+b,由函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為-3,可得f′(1)=-3;又f(1)=-1+a+b+c=-2;由函數(shù)f(x)在x=-2時(shí)有極值,可得f′(-2)=0,聯(lián)立解得即可.
(2)由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增,可得導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-3x2-bx+b在區(qū)間[-2,0]上的值恒大于或等于零,因此
f′(-2)=-12+2b+b≥0
f′(0)=b≥0
,解得即可.
解答: 解:(1)f′(x)=-3x2+2ax+b,
函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為-3,
∴f′(1)=-3+2a+b=-3,即2a+b=0,
又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1.  
∵函數(shù)f(x)在x=-2時(shí)有極值,
∴f′(-2)=-12-4a+b=0,
聯(lián)立
2a+b=0
a+b+c=-1
-12-4a+b=0

解得a=-2,b=4,c=-3,
∴f(x)=-x3-2x2+4x-3.
(2)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增,
∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-3x2-bx+b在區(qū)間[-2,0]上的值恒大于或等于零,
f′(-2)=-12+2b+b≥0
f′(0)=b≥0
,
解得b≥4,
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
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已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且在x=1處取得極大值.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若方程f(x)=-
(2a+3)2
9
恰好有兩個(gè)不同的根,求f(x)的解析式;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的函數(shù)f(x),對(duì)任意α,β∈R,求證:|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤81.

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如圖為一個(gè)4×5的方格迷宮,每個(gè)小方格邊長均為1,現(xiàn)要從其左下頂點(diǎn)A行進(jìn)至其對(duì)角頂點(diǎn)B,每步行走一個(gè)單位長度,但不能連續(xù)向上行走,則符合要求的行走的最短路徑共有
 
種.

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一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示,則該棱柱的全面積為
 

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到點(diǎn)A(0,2)與點(diǎn)B(2,0)的距離均為2的直線方程為
 

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已知數(shù)列{an}滿足:an=(-1)nn,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2013=
 

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若a>b>0,則
1
a
 
1
b

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設(shè)M是一個(gè)非空集合,#是它的一種運(yùn)算,如果滿足以下條件:
(Ⅰ)對(duì)M中任意元素a,b,c都有(a#b)#c=a#(b#c);
(Ⅱ)對(duì)M中任意兩個(gè)元素a,b,滿足a#b∈M.
則稱M對(duì)運(yùn)算#封閉.
下列集合對(duì)加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都封閉的為
 

①{-2,-1,1,2}     
②{1,-1,0}   
③Z     
④Q.

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函數(shù)f(x)=mx2-2x+1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A、m<0
B、m≤0
C、m<0或m=1
D、m≤0或m=1

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